当有一个$k=19$时，看看下面这两个序列：
\[\begin{aligned} i: & \{1 \ \ \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 10 \ 11 \ 12 \ 13 \ 14 \ 15 \ 16 \ 17 \ 18 \ 19\} \\ \lfloor k/i \rfloor: & \{19 \ 9 \ 6 \ 4 \ 3 \ 3 \ 2 \ 2 \ 2 \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \ 1 \ \ \} \end{aligned}\]可以发现实际上$\lfloor k/i \rfloor$满足某种“块状”的性质，即某些连续部分的答案是相同的。
这就是数论分块，结论如下：
对任意类似的区间，假设其左边界为$L$，右边界为$R$ 那么$R=\lfloor {( k/\lfloor k/L \rfloor )} \rfloor$ 每次只需要令$L=R+1$即可移动到下一块
代码如下：
/*
L，R分别代表当前左右区间
n是枚举的范围
k是当前的被除数
并且当前块内所有值都为t
*/
int L=1,R=0,ans=0;
do{
// cout<<L<<' '<<R<<endl;
int t=k/L;
if(t!=0) R=min(k/t,n);
else R=n;
ans+=((R-L+1)*(R+L)/2)*t;//计算答案
L=R+1;
}while(L<=n);
在某些题目中数论分块可以把时间压缩到$O(\sqrt{n})$。
另外还有一个结论：
$a\%b=a-b* \lfloor a/b \rfloor$
数论分块和这个结论结合之后就可以解决：[CQOI2007]余数求和。
另外再贴三个公式，往往在数论分块中求出对答案的贡献：
\[\sum_{i=1}^{n} i =(1+n)*n/2\] \[\sum_{i=1}^{n} i^2 =(2n+1)*(n+1)*n/6\] \[\sum_{i=1}^{n} i^3 ={(\sum_{i=1}^{n} i)}^2\]它们结合之后就可以解决：P2424 约数和。